Cum să face divizarea lungă cu polinoame

Diviziunea lungă, în algebră, este un instrument pentru simplificarea expresiilor polinomiale lungi. Așa cum folosiți diviziunea regulată lungă pentru a găsi factori de număr mare (de exemplu 3624 ÷ 14), puteți utiliza diviziunea cu polinom lung pentru a găsi factori de polinoame mari. Procesul este în esență același cu diviziunea lungă cu numere. Este o serie repetată de patru pași: estimare, multiplicare, scădere, reportare. Pentru polinoamele foarte lungi, pur și simplu continuați același proces pentru mai mulți pași. La fel de mult ca diviziunea cu numere uneori funcționează "chiar" și uneori are și restul, trebuie să știți cum să faceți față resturilor în diviziunea lungă de polinoame.

Cap 1
Împărțirea unui trinomial cu un binomial

  1. Citiți problema.
    1
    Citiți problema. Problema vă poate fi prezentată ca o problemă directă de divizare, cu instrucțiuni pentru a găsi coeficientul. De asemenea, puteți avea o fracțiune, cu un polinom ca numărător și un binomial ca numitor. Ar trebui să recunoașteți acest lucru ca o oportunitate de a efectua diviziunea. [1] De exemplu, o problemă de diviziune ar putea fi declarată ca fiind, "Find the quotient atunci când 3x2 + 20x + 12 {\ displaystyle 3x ^ {2} + 20x + 12} este împărțit la x + 6 {\ displaystyle x + 6}. "Aceeași problemă ar putea să vă întreb," Un factor de 3x2 + 20x + 12 {\ displaystyle 3x ^ {2} + 20x + 12} este x + \ displaystyle x + 6}. Care este celălalt factor? "În cele din urmă, exact aceeași problemă poate apărea doar ca 3x2 + 20x + 12x + 6 {\ displaystyle {\ frac {3x ^ {2} + 20x + 12} {x + 6}}}. Ar trebui să recunoașteți că forma fracționată înseamnă împărțirea numitorului cu numitorul.
  2. Configurați o problemă de divizare lungă.
    2
    Configurați o problemă de divizare lungă. Așa cum ați face cu numerele, începeți prin a desena un simbol lung diviziune, ceva de genul asta:) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯. Polinomul care este dividendul tău se duce în spațiul sub simbol. Divizorul este plasat în partea stângă a simbolului. [2] "Dividendul" este termenul mare al cărui factori încercați să îl găsiți. "Divizorul" este factorul pe care îl împărțiți. "Coeficientul" este răspunsul oricărei probleme de divizare. Cu polinoamele, această problemă va arăta astfel: x + 6) 3x2 + 20x + 12¯ {\ displaystyle x + 6 {\ overline {} 3x ^ {2} + 20x + 12}}}.
  3. Estimați primul termen al coeficientului dvs.
    3
    Estimați primul termen al coeficientului dvs. Când faceți o divizie lungă cu numere, nu încercați să împărțiți întregul număr într-un singur pas. Priviți primele câte unul sau două numere ale dividendului și estimați de câte ori primește prima cifră a divizorului. Veți face același lucru cu divizarea polinomului. Uitați-vă la primul termen al divizorului și decideți de câte ori va intra în primul termen al dividendului. [3] De exemplu, dacă împărțiți 642 cu 3, începeți să luați în considerare câte ori se vor împărți 3 prima cifră de 642. Trei merge în șase de două ori, așa că veți scrie un 2 peste 6 peste linia de divizare. Pentru diviziunea polinomică, luați în considerare primul termen al dividendului, 3x2 {\ displaystyle 3x ^ {2}} și primul termen al divizorului, x {\ displaystyle x}. 3x2 {\ displaystyle 3x ^ {2}} împărțit la x {\ displaystyle x} lasă un factor de 3x {\ displaystyle 3x}. Scrieți 3x {\ displaystyle 3x} deasupra 3x2 {\ displaystyle 3x ^ {2}} sub simbolul de divizare.
  4. Înmulțiți primul termen de către divizor.
    4
    Înmulțiți primul termen de către divizor. Cu prima dată a coeficientului stabilit deasupra liniei de bare, acum înmulțiți-l cu divizorul complet. Scrieți rezultatul sub dividend. [4] Cu 3x {\ displaystyle 3x} ca primul termen al coeficientului dvs., multiplicați 3x {\ displaystyle 3x} cu x + 6 {\ displaystyle x + 6}. Faceți acest lucru prin înmulțirea a 3x pentru fiecare termen. Mai întâi faceți 3xâ-x {\ displaystyle 3x * x} și apoi 3xâ- + 6 {\ displaystyle 3x * + 6}. Scrie rezultatul, 3x2 + 18x {\ displaystyle 3x ^ {2} + 18x} sub primii doi termeni ai polinomului 3x2 + 20x {\ displaystyle 3x ^ {2} + 20x}.
  5. Scădea.
    5
    Scădea. La fel cum următorul pas în diviziunea lungă este scăderea rezultatului din numărul original, în această problemă veți scădea polinomul minus binomul pe care tocmai l-ați notat. Ar fi trebuit să vă scrieți pasul anterior sub termeni similari ai polinomului, astfel încât să puteți scădea pur și simplu în jos. Desenați o linie sub binomul inferior și scade [5] În exemplul de funcționare, primii termeni ar trebui să se alinieze pentru a scădea 3x2â'3x2 {\ displaystyle 3x ^ {2} -3x ^ {2}}. Aceasta se anulează la zero. Apoi scădeți al doilea termen, 20xâ'18x {\ displaystyle 20x-18x}. Sub linia de scădere, scrieți răspunsul dvs. de 2x {\ displaystyle 2x}.
  6. Reporniți următorul termen al dividendului.
    6
    Reporniți următorul termen al dividendului. În diviziunea numerică lungă, veți aduce acum următoarea cifră a numărului. În diviziunea lungă polinomică, copiați următorul termen al polinomului [6]. În acest exemplu, următorul (și ultima) termen al polinomului este +12 {\ displaystyle +12}. Copiați-l în jos, de lângă 2x {\ displaystyle 2x}, pentru a crea binomul 2x + 12 {\ displaystyle 2x + 12}.
  7. Începeți din nou procesul.
    7
    Începeți din nou procesul. Comparați acest nou dividend, 2x + 2 {\ displaystyle 2x + 2} cu divizorul x + 6 {\ displaystyle x + 6}. Luați în considerare de câte ori primul termen, 2x {\ displaystyle 2x} poate împărți primul termen al divizorului x {\ displaystyle x}. 2x {\ displaystyle 2x} împărțit la x {\ displaystyle x} este {\ displaystyle}. Scrieți acest rezultat, {\ displaystyle} ca următorul termen al coeficientului dvs. în partea de sus a problemei. [7] Pentru că {\ displaystyle} este pozitiv, scrieți-l ca +2 {\ displaystyle +2}. Aceasta va da coeficientul 3x + 2 {\ displaystyle 3x + 2} deasupra liniei de divizare.
  8. Înmulți ultimul termen al coeficientului de divizor.
    8
    Înmulți ultimul termen al coeficientului de divizor. Continuați procesul prin înmulțire. [8] În acest exemplu, multiplicați +2 {\ displaystyle +2} ori pe fiecare termen al divizorului x + 6 {\ displaystyle x + 6}. Aceasta va da rezultatul 2x + 12 {\ displaystyle 2x + 12}. Scrieți acest rezultat în partea de jos a problemei divizării lungi, aliniind termenii cu rezultatul scăderii anterioare.
  9. Scădea.
    9
    Scădea. Se aliniază termenii obișnuiți și apoi se scade. Binomul din partea de jos a problemei de la scăderea dvs. anterioară a fost 2x + 12 {\ displaystyle 2x + 12}. Sub acesta este cel mai nou produs, care este, de asemenea, 2x + 12 {\ displaystyle 2x + 12}. Când scadeți fiecare termen, rezultatul va fi zero. [9]
  10. Raportați rezultatul.
    10
    Raportați rezultatul. Când ați folosit toți termenii polinomului inițial, iar scăderea dvs. anulează toți termenii la zero, ați terminat cu diviziunea lungă. Rezultatul de 3x2 + 20x + 12 {\ displaystyle 3x ^ {2} + 20x + 12} împărțit la x + 6 {\ displaystyle x + 6} este 3x + 2 {\ displaystyle 3x + 2} dacă lucrați cu problema în formă fracționată, rezultatul va arăta astfel: 3x2 + 20x + 12x + 6 = (3x + 2) (x + 6) x + 6 = 3x + 2 {displaystyle { {2} + 20x + 12} {x + 6}} = {\ frac {3x + 2} (x + 6)

Cap 2
Facând o diviziune lungă cu polinoame mai lungi

  1. Stabiliți problema.
    1
    Stabiliți problema. La fel cum ați face și cu o problemă mai simplă, scrieți dividendul sub bara de diviziune lungă și divizorul dvs. la stânga. [11] Să presupunem că vi se cere să găsiți coeficientul de 4x3 + 9x2''xâ'6 {\ displaystyle 4x ^ {3} + 9x ^ {2} -x-6} împărțit la x + 2 {\ displaystyle x + 2}. Setați polinomul mai lung 4x3 + 9x2''xâ'6 {\ displaystyle 4x ^ {3} + 9x ^ {2} -x-6} sub diviziunea bara și divizorul x + 2 {\ displaystyle x + 2} . Acesta va arăta astfel: x + 2) 4x3 + 9x2â'xâ'6¯ {\ displaystyle x + 2 {\ overline {) 4x ^ {3} + 9x ^ {2} -x-6}}}.
  2. Urmați aceiași pași ca înainte.
    2
    Urmați aceiași pași ca înainte. Urmați același model de patru pași lungi de divizare ca mai înainte: Estimare, Multiplicare, Scădere, Realizați. Singura diferență cu o problemă mai lungă este aceea că veți continua să repetați modelul de mai multe ori. [12] Luați în considerare problema divizării numerice lungi 24) 90,048? {\ Displaystyle 24 {\ overline {) 90,048}}}. Veți începe prin estimarea a 2 în 9, apoi a efectua 0, apoi veți reporni ceilalți 0, 4 și apoi 8. Fiecare număr reprezintă o rundă completă de "Estimare, Multiplicare, Scădere, Depășire . Cu diviziunea lungă de polinomială lungă, fiecare dintre termenii din dividend, 4x3 {\ displaystyle 4x ^ {3}}, 9x2 {\ displaystyle 9x ^ {2}}, \\ {\ displaystyle -x} â'6 {\ displaystyle -6} reprezintă un ciclu complet de "estimare, multiplicare, scădere, reducere".
  3. Continuați până la sfârșit.
    3
    Continuați până la sfârșit. Continuați să lucrați până când ajungeți la scăderea finală și nu mai aveți alte termeni. Cu această problemă de exemplu, diviziunea ar trebui să funcționeze uniform, astfel încât scăderea finală să aibă un rezultat de zero. [13]
  4. Raportați rezultatul.
    4
    Raportați rezultatul. Asa cum v-ati astepta ca un numar mai mare sa fie coeficientul atunci cand impartiti numere mari, probabil ca veti avea un polinom mai lung ca coeficientul dvs. atunci cand faceti o problema mai mare de diviziune algebrica. În acest exemplu, rezultatul lui 4x3 + 9x2''xâ'6 {\ displaystyle 4x ^ {3} + 9x ^ {2} -x-6} împărțit la x + 2 {\ displaystyle x + 2} este trinomial 4x2 + xâ'3 {\ displaystyle 4x ^ {2} + x-3}.

Cap 3
Lucrul cu restul în divizia long polinomial

  1. Configurați-vă problema.
    1
    Configurați-vă problema. Când începeți o problemă de divizare lungă polinomică, nu veți ști încă de la început dacă aveți sau nu un rest. Stabiliți problema la fel cum ați face cu orice diviziune lungă [14] De exemplu, să presupunem că aveți problema x2 + 5x + 9x + 3 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + 5x + 9} {x +3}}}. Setați această funcție ca fiind: x + 3) x2 + 5x + 9¯ {\ displaystyle x + 3 {\ overline {) x ^ {2} + 5x + 9}}}.
  2. Estimați primul termen al coeficientului dvs.
    2
    Estimați primul termen al coeficientului dvs. Uită-te la primul termen al dividendului și primul mandat al divizorului. Estimați coeficientul și scrieți rezultatul deasupra liniei de bare. [15] În acest exemplu, primul termen al coeficientului este x2 {\ displaystyle x ^ {2}} și primul termen al divizorului este x {\ displaystyle x} . x2 {\ displaystyle x ^ {2}} împărțit la x {\ displaystyle x} merge în x {\ displaystyle x} de ori, deci scrie rezultatul x {\ displaystyle x} deasupra liniei de bara de divizare.
  3. Înmulțiți termenul de coeficient al divizorului.
    3
    Înmulțiți termenul de coeficient al divizorului. Găsiți produsul parțial pentru primul pas prin înmulțirea primei estimări a coeficientului cu divizorul. Scrieți rezultatul sub dividend [16] Pentru această problemă, multiplicați x {\ displaystyle x} pe care l-ați scris deasupra liniei de bare cu termenii divizorului x + 3 {\ displaystyle x + 3}. Scrieți rezultatul, x2 + 3x {\ displaystyle x ^ {2} + 3x} sub termenii corespunzători x2 + 5x {\ displaystyle x ^ {2} + 5x}.
  4. Scădea.
    4
    Scădea. Desenați o linie sub ultimul dvs. rezultat și scadeți termenul pe termen. Scrieți diferențele din partea de jos a problemei. [17] În acest exemplu, primii termeni se vor anula ca x2â'x2 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} -x ^ {2} = 0}. A doua scădere a termenului este de 5x'3x {\ displaystyle 5x-3x}. Scrieți rezultatul, 2x {\ displaystyle 2x}, în partea de jos a problemei.
  5. Realizați următorul termen al polinomului.
    5
    Realizați următorul termen al polinomului. Ca și înainte, copiați următorul termen al polinomului dividend până jos și adăugați-l la rezultatul din etapa de scădere. [18] În acest caz, ultimul termen al polinomului este +9 {\ displaystyle +9}. Copiați acest lucru în jos și adăugați-l la versiunea 2x {\ displaystyle 2x} de la pasul anterior. Aceasta creează binomul 2x + 9 {\ displaystyle 2x + 9}.
  6. Repetați procesul de divizare lungă.
    6
    Repetați procesul de divizare lungă. Uitați-vă la primii termeni și decideți de câte ori x {\ displaystyle x} al divizorului dvs. x + 3 {\ displaystyle x + 3} va intra în 2x {\ displaystyle 2x} din partea de jos. Scrieți acest rezultat, {\ displaystyle} deasupra liniei de divizare în partea de sus a problemei. Aceasta vă dă un coeficient de x + 2 {\ displaystyle x + 2}. [19]
  7. Înmulți ultimul termen al coeficientului de divizor.
    7
    Înmulți ultimul termen al coeficientului de divizor. Utilizați termenul pe care tocmai l-ați plasat în coeficient pentru a multiplica divizorul. Scrie rezultatul în partea de jos a problemei divizării lungi. [20] În acest exemplu, multiplicați +2 {\ displaystyle +2} după fiecare termen al divizorului x + 3 {\ displaystyle x + 3}. Scrieți rezultatul, 2x + 6 {\ displaystyle 2x + 6} în partea de jos. Aliniați termenii obișnuiți sub unul altuia.
  8. Scădea.
    8
    Scădea. Desenați o linie în ultimul pas și scădeați termenii obișnuiți. [21] În problema probă, aceasta ar trebui să lase scăderea de 2x + 9 {\ displaystyle 2x + 9} minus 2x + 6 {\ displaystyle 2x + 6}. Primii termeni, 2xâ'2x {\ displaystyle 2x-2x} se vor anula. Scăderea finală este 9â'6 {\ displaystyle 9-6}. Acest lucru lasă un rest de 3. Pentru că nu mai există termeni ai polinomului de dividend care să poată fi transferat, munca dvs. este făcută, cu excepția faptului că ați raportat rezultatul.
  9. Raportați rezultatul.
    9
    Raportați rezultatul. Amintiți-vă cum vă ocupați de restul atunci când împărțiți numai cu numere. Înainte de a învăța să divizi în puncte zecimale, ai învățat să scrie restul ca o fracțiune peste divizor. Faceți același lucru cu divizarea polinomului. Veți scrie restul ca numărător al unei fracții, cu divizorul ca numitor. [22] Luați în considerare exemplul numeric, 3) 35 ¯ {\ displaystyle 3 {\ overline {) 35}}}. Acest lucru ar da un rezultat de 11, cu un rest de 2. Veți scrie răspunsul dvs. ca 1123 {\ displaystyle 11 {\ frac {2} {3}}}. Pentru diviziunea polinomică, cota dvs. a fost x + 2 {\ displaystyle x + 2} cu un rest de 3 {\ displaystyle 3}. Scrie restul ca o fracțiune peste divizor, deci raportați întregul dvs. coeficient ca x + 2 + 3x + 3 {\ displaystyle x + 2 + {\ frac {3} {x + 3}}}.